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Modélisation de l’ouverture buccale normale et d’une déviation mandibulaire consécutive à un blocage unilatéral de l’articulation temporo-mandibulaire.
R.Fenart & J.M. Landouzy
Cette
étude, de nature mathématique, vise à quantifier, dans un espace
tridimensionnel orthonormé, le déplacement d’un élément mandibulaire médian
dans le cas où un condyle (par exemple le gauche) n’effectue plus ses
mouvements de translation vers le bas et l’avant, mais reste soumis à la
rotation, lors de l’ouverture buccale. (les déplacements mandibulaires de latéralité
seront considérés comme nuls).
L’espace
orienté est jalonné par les axes "vestibulaires" basés sur les
labyrinthes des oreilles internes : axe horizontal (des x) dirigé
positivement vers l’arrière-crâne, axe vertico-frontal (des y) dirigé
positivement vers le haut, et axe transverse (des z) dirigé positivement vers
le côté gauche. Cette dernière convention, inutile lors d’études théoriques
où la symétrie bilatérale de la tête est supposée vérifiée, devient ici nécessaire
et découle du problème posé. Les 3 coordonnées (x, y, z) d’un point
devront donc impérativement être munies du signe adéquat (+ ou -), sachant
que le zéro, origine de ces coordonnées, est à l’intersection des 3 axes.
L’unité
de longueur employée est le millimètre (et ses décimales, lors des calculs
intermédiaires). Celle des angles est le degré. L’iconographie positionnant
les éléments comprendra, à chaque stade de calcul, 3 tracés orientés
vestibulairement : une projection sagittale, vue par le côté gauche, une
projection vertico-frontale, vue par l’avant (donc avec le côté gauche à
droite du dessin), et une projection horizontale, vue par dessous. Les 3 tracés
se correspondent (comme le montre la figure 4).
Tous
les calculs reposent exclusivement sur la connaissance des coordonnées des
points: Il reste quelques conditions finales.
Figure
1
Point inter-incisif i
(fig.1), au centre de la zone inter-incisive et à distance spatiale (tri-d)
de 100 millimètres de chaque point C (que l’on définira).
i est un point à la fois maxillaire (i.f. , fixe) et mandibulaire
(mobile) et qui portera, dans ce cas, un indicatif ou un indice : i.n.=
position normale d’ouverture (d’une amplitude que l’on admettra de E = 40
millimètres de distance par rapport à i.f.). et selon la phase de calcul
considérée : i1 , i2 ou i3 .
Le point condylien C
est situé à mi-largeur de chacun des 2 condyles, sur la surface supérieure
articulaire. Du côté où la translation ne peut se faire ( gauche pour
l’exemple qui sera développé) C sera dépourvu d’indice. En phase 1 du
calcul, C sera aussi le C1 du
côté gauche. De l’autre côté (donc droit) selon la phase de calcul, on
emploiera C1 , C2 ou C3.
Te est le point (en rapport temporal) d’arrivée du point C lors de
l’ouverture normale (en tenant compte de l’épaisseur du ménisque).
Comme
référence de départ (Fig.1) nous utiliserons les coordonnées vestibulaires
des points, telles qu’elles ont été proposées par R.Fenart , pour
l’adulte leucoderme "moyen" (cf. Bibliographie).
C :
x = -12
y = -13,5 z = ± 50
Te : x
= -19
y = -23
z = ± 50
i.f. :
x = -62
y = -84
z = 0
Un
calcul préliminaire a montré que le triangle unissant i.f. aux deux C pouvait
être regardé comme équilatéral avec un côté de 100. Sa hauteur est donc :
½ × 100 √¯3 = 86,6 (valeur de sa projection sagittale). C’est ce
triangle dont nous allons étudier l’évolution de position mais qui,
évidemment, ne change ni de forme ni de taille, en tri-d.
Le
principe de ce travail est tout d’abord de situer, par ses coordonnées
rectangulaires, le point incisif mandibulaire en ouverture normale (i.n.), puis
de rechercher où se trouvera ce point (devenu i3) après ouverture
buccale lorsqu’il y a blocage unilatéral de la translation, et enfin de
comparer ces deux positions en déterminant la quantité de mouvement et le sens
de celui-ci, pour chacune des 3 projections (sagittale, vertico-frontale et
horizontale) pour juger du mouvement total, dans l’espace tri-dimensionnel
orienté.
Intersection de 2 cercles
L’intervention
mathématique concernera, à plusieurs reprises, le problème général de géométrie
analytique, de l’intersection de 2 cercles représentés chacun par les
coordonnées de son centre et la valeur de son rayon. La résolution d’un cas
fictif permettra ensuite d’effectuer les applications aux cas qui nous intéressent.
Figure
2
Supposons
(Fig.2), dans un référentiel orthogonal, un cercle dont le centre possède a
pour abscisse et b pour ordonnée, et de rayon R, et un autre cercle de centre
a’ et b’ et de rayon R’.Leur formulation est :
(x-a)² + (y-b)² = R²
et (x-a’)²
+ (y-b’)² = R’²
En
les développant, on obtient :
x² + y² - 2(ax + by) + a² + b² - R² = 0
et x² + y² - 2(a’x + b’y) + a’² +
b’² - R’² = 0
Les
3 derniers termes étant constants, on peut faire :
a² + b² - R² = H
et
a’² + b’² - R’² = H’
alors,
x² -2ax + y² -2by + H = 0 (*) et en changeant les signes de la seconde
:
-x² +2a’x - y² + 2b’y - H’ = 0
L’addition
terme à terme donne :
2x(a’-a) + 2y(b’-b) + H-H’ = 0
On fait ½ (H-H’) = L
x(a’-a) + y(b’-b) + L = 0
On
cherche y = f(x)
y(b’-b) = -x(a’-a) - L = x(a-a’)
- L
y = x(a-a’)/(b’-b) -
L/(b’-b)
On fait (a-a’)/(b’-b) = S
et
L/(b’-b) = T
y = Sx -T (**)
c’est
la droite d’intersection des 2 cercles. S est la « pente » de
cette droite, laquelle est orthogonale à celle unissant les 2 centres, et la
coupe en son milieu.
Application théorique . (Fig.2) avec
a = 50
b = 30
R = 25
a’ = 20
b’ = 40
R’ = 10
La droite obtenue est : y
= 3x - 43,75 (***)
Le
problème est donc simplifié car, au lieu de rechercher l’intersection de 2
cercles, on va rechercher celle d’une droite avec un (seul) cercle, (l’un ou
l’autre).
A
partir des relations notées (*) et (**), on pose :
x² - 2ax + (S²x² + T² - 2STx) - 2b(Sx -T) + H = 0
qui
devient, en fonction de x :
x²(1+S²) - 2x(a + ST + Sb) + (T² + 2bT + H) = 0
On
regroupe les constantes :
ST + Sb = U et
T² + 2bT + H = V
Cela
donne :
x²(1+S²) - 2x(a +U) + V = 0
On
divise tout par (1 + S²)
x² - 2x(a+U)/(1+S²) + V/(1+S²) = 0
C’est
une fonction du deuxième degré en x, du type Ax² + Bx + C = 0
Avec A = 1
B = -2(a+U)/(1+S²)
et C = V/(1+S²)
Que
l’on résoud classiquement.
En reprenant l’application proposée plus haut, cela donne (Fig.2) :
x² - 54,25x + 731,4 = 0
avec A = 1
B = -54,25
C = 731,4
Les solutions sont données par x = ½{-(-54,25) ±
racine de (2943,06 - 2925,60)}
C’est à dire x = ½{54,25 ± racine de17,46} , ce qui fournit : x1
= 29,21 et x2 = 25,04
(on peut vérifier, au passage, que la somme des racines est bien de 54,25
et que leur produit est de 731,4). A
l’aide de la relation notée (***) on trouve les ordonnées correspondantes :
y1 = (3 ×29,21) - 43,75 = 43,88
et y2
= (3×25,04) - 43,75 = 31,37
Dans
les cas qui vont maintenant nous intéresser, une seule racine de x ,donc aussi
un seul y, seront à retenir, en considérant l’évidence anatomique.
Rappelons
que pour avoir 2 racines, il faut que la distance des centres soit inférieure
à la somme des rayons ou qu’elle soit supérieure à leur différence ;
c’est la première éventualité qui est vérifiée ici
(et s’il y avait égalité , une seule racine correspondrait à 2
cercles tangents, et aucune solution ne serait possible si l’on inversait les
2 premières propositions !)
Une
programmation des relations exposées a été réalisée. Elle facilite les
calculs.Il convient aussi de noter,à ce propos, que si une même ordonnée
existe pour les 2 centres, le programme se bloque car une différence nulle
intervenant au dénominateur d’une fraction signifie « l’infini » !
ce que n’apprécient pas les ordinateurs. Dans ce cas, il suffit d’ajouter
à l’un des 2 paramètres 0,001 par exemple, car un micron n’a aucune
influence sur le résultat final mais a l’avantage de débloquer la machine.
Enfin, dans certains cas il devient indispensable d’opérer avec de
nombreuses décimales lors de calculs intermédiaires afin d’éviter,
notamment, que des radicaux deviennent négatifs à cause d’arrondissement
prématurés.
Nous
aurons à effectuer des calculs d’intersection de cercles à plusieurs
reprises, sur chacun des 3 plans de projections. Les x et y du plan sagittal
seront alors remplacés respectivement par les z et y sur le plan
vertico-frontal et par les z et x sur le plan horizontal, afin de respecter
l’appellation et l’orientation des axes. Les couples de valeurs, lues sur
l’iconographie en face des points, répondent à ces conventions.
Figure
3
Ouverture normale (Fig.3)
Le
point incisif (i.f.) vient en
situation i.n. en cas d’ouverture buccale normale. La position de ce dernier
doit être établie avant d’envisager les conséquences d’une anomalie de
fonctionnement de l’une des articulations temporo-mandibulaires. En projection
sagittale, la droite C ó i.f.
systématise la mandibule en position de fermeture. Elle devient Te ó i.n. en bouche ouverte (d’une amplitude que nous
« estimons » à E = 40 millimètres entre les points i.f. et i.n.),
tout en conservant la même valeur (86,6).
Le
problème à résoudre revient donc à rechercher l’intersection entre un
cercle de centre Te (x = -19 et y = -23) et de rayon 86,6, avec un autre cercle
de centre i.f. (x = -62 et y = -84) et de rayon
40. Les calculs effectués comme cela a été montré plus haut,
expriment la droite d’intersection par :
y = -0,7049 x
- 130,406
Parmi
les 2 solutions possibles, il faut retenir finalement , pour le point i.n. ,
les coordonnées suivantes :
x = -30,628 et y = -108,816.
L’examen
de la figure 3 suscite quelques remarques :
Remarque 1
Bien
que cela ne soit pas indispensable pour la suite, il peut être intéressant de
traduire l’ouverture buccale par un paramètre angulaire. Cela nécessite, au
préalable, la connaissance du segment Te ó i.f.
Il
est égal à racine de { (-19 - -62)²
+ (- 23 - - 84)² } = 74,632
Appelons
α l’angle i.f. / Te /
i.n. Une relation trigonométrique
classique nous permet d’écrire :
(40)² = (74,632)² + (86,6)² - 2 × 74,632
× 86,6 × cos α
D’où l’on tire cos α = 0,88, qui correspond à un angle de 27°,46
Remarque 2
Le
point Te paraît aligné avec la direction mandibulaire C ó i.f.. L’est-il vraiment ?
La
droite C ó i.f. s’exprime sous la forme
y = px + q. On en connaît les coordonnées des extrèmités, d’où
-13,5 = -12p + q et
-84 = -62p + q . Par soustraction membre à membre on obtient :
84 - 13,5 = p (62 - 12) d’où
p = 1,41
et q = (12 × 1,41) - 13,5 = 3,42
y = 1,41x + 3,42
Une
perpendiculaire à C <-> i.f. , menée par Te, a pour pente :
p’
= -1/p = -0,709
Connaissant
les coordonnées de Te, on écrit
-23
= (-0,709) × (-0,19) + q’ et q’ = -36,47
La
perpendiculaire étudiée est donc :
y = -0,709x - 36,47
Le
point d’intersection entre les 2 droites est trouvé en faisant :
1,41x + 3,42 = - 0,709 x - 36,47
x = -18,825 et
y = - 23,12
Les
coordonnées de Te en sont très proches ( x = - 19 , et
y = - 23)
La
distance entre Te et la droite C <-> i.f. s’obtient par :
Racine de { (19 - 18,825)² + (23,12 - 23)² } =
0,21 millimètres
Etant
donné que lors de la prise des mesures, la précision ne dépasse guère le
demi-millimètre, il faut conclure que les 3 points : C,
Te et
i.f. sont alignés
Remarque 3
La
figure 2 montre que, de façon théorique, la droite d’intersection de 2
cercles a peu de chances de passer par le centre de l’un d’eux. Et pourtant
la figure 3 suggère une telle tendance dans le cas étudié ici !
qu’en est-il exactement ?
Nous
connaissons déjà la formule de la droite C ó i.f. unissant les centres : y = 1,41x +
3,42, et celle de la droite d’intersection des cercles :
y
= -0,709x - 130,406
Le
point d’intersection de ces deux droites, calculé comme précédemment, est
trouvé à x = - 63,155 et y = -85, 628, à comparer avec le point i.f.
(x = -62 et y = -84). Leur
distance est donc :
racine de {(63,155 - 62)² +
(85,628 - 84 )²} = 1,996
Cette
distance est faible. On peut se demander, à titre de curiosité (!) , quelle
aurait dû être la valeur (E) de l’ouverture de la bouche, pour que la droite
d’intersection des cercles passe par le centre i.f. du cercle concerné ?
Cela serait donné par : E²
= (86,6)² - (74,63)² puisque
l’angle C / i.f. / i.n. serait alors droit. On trouve E = 43,93
Nous avons opté, au départ, pour une ouverture de 40. Peut-être
aurait-il fallu choisir une valeur plus proche de 44 millimètres pour obtenir
une position physiologique mieux « équilibrée », à cause de la présence
d’un angle droit ? Nous
poursuivrons cependant ce travail avec E = 40.
Analyse de l’anomalie
Il
s’agit, rappelons-le, du cas de fixité unilatérale du point condylien
(gauche) pouvant subir la rotation mais sans translation. Le mouvement
mandibulaire va être décomposé artificiellement en 3 phases successives.
Figure
4
Première phase
La
première phase est une rotation totale de la mandibule autour d’un axe
transversal passant par les deux points C. Son amplitude est la même que celle
qui a été trouvée dans le cas d’ouverture normale, mais sans translation
condylienne. Le point C du côté droit sera aussi appelé C1
bien qu’il se projette sagittalement au même endroit que le C de
gauche. La rotation ici étudiée
s’explicite en projection sagittale (Fig.4). L’amplitude angulaire étant
rendue égale à celle représentée figure 3, le point incisif recherché (i1)
subit, par rapport à i.n. un déplacement identique (en direction et en
importance) à celui qui ferait passer de Te en C.
Dans
le sens antéro-postérieur, le recul à effectuer est de : 19 - 12 = 7 , et
dans le sens vertical, l’ascension est de : 23 - 13,5 = 9,5.
Donc,
le point i1 est à :
x = -30,63 - (-7) = -23,63 ,
et
à
y = -108,82 - (-9,5) = -99,32
(et,
bien entendu, à z inchangé = 0).
Afin
de mieux visualiser les étapes suivantes, il est utile de positionner aussi i1
sur les 2 autres plans de projections (Fig.4).
Figure
5
DEUXIEME PHASE (Fig.5)
C’est
un mouvement vers le bas, du point condylien droit qui passe de C1 en
C2 , alors que le condyle gauche (C) demeure immobile. Mais la
distance spatiale entre les 2 points condyliens restant constante (à 100), C1
subit une légère rotation pour passer en C2 . Il parcourt la même
distance verticale, à savoir (23-13,5 = 9,5) que s’il c’était agi d’une
ouverture normale (où n’existe qu’une composante verticale de la
translation totale).
Les
faits s’explicitent sur une projection vertico-frontale (Fig.5) où
toute la mandibule, représentée par son triangle, tourne autour d’un axe horizontal
(passant par C), à partir de sa position précédente (phase 1). Ainsi seules
seront affectées les coordonnées z et y, les x des points demeurant inchangés
par rapport à la phase 1.
Il
faut commencer par déterminer la position de C2 , qui est à
l’intersection d’un cercle de centre C1 avec z = - 50 et y = -
13,5 et de rayon 9,5, et d’un autre cercle de centre C : (z = +50 et y =
- 13,5) et de rayon = 100. Il en ressort que
C2 se trouve à : z = - 49,549 et y = - 22,933.
Mais,
lors de la rotation de la phase 1, le triangle mandibulaire s’est déformé
sur la projection vertico-frontale . D’équilatéral, dans l’espace, il est
maintenant devenu isocèle. Sa hauteur qui était de 86,6 se réduit en
projection vertico-frontale, comme on va le voir. La projection sagittale de la
figure 5 montre que cette nouvelle hauteur s’obtient en faisant :
racine
de{(86,6)² - (23,63 - 12)²} = 85,8.
C’est
aussi celle du triangle isocèle qui a tourné lors de la phase 2, et chacun des
2 côtés égaux de celui-ci valent :
racine
de {(50)² + (85,8)² } = 99,32.
Alors,
il faut maintenant rechercher l’intersection entre 2 nouveaux cercles :
le premier est centré en C (z = -
50 et y = - 13,5) avec un
rayon de 99,32, et l’autre est centré en C2
dont les coordonnées du centre sont :
z
= - 49,549 et y = - 22,933
et
de rayon 99,32 (à modifier, comme on l’a dit, en 99,32001).
La
nouvelle position incisive i2 est
alors trouvée à
z
= +8,321, y = - 103,651, avec toujours x inchangé = - 23,63.
(Le
calcul donne aussi une deuxième solution qui doit être rejetée). Cette
nouvelle situation est aussi représentée figure 5, sur la projection
horizontale et sur la projection sagittale.
L’angle
β dont a tourné la droite C ó C1 pour arriver à C ó C2 est donné par :
(9,43)² = (99,5)² + (100)² - 2 × 99,5 × 100 cos β
cos β = 0,9955
et β = 5°,41
C’est
de cette même amplitude qu’a tourné le point incisif, autour de C.
Figure
6
TROISIEME PHASE (Fig.6)
Cette
fois, les y demeurent identiques à ceux trouvés précédemment, et les
changements à partir du stade 2 vont s’expliciter sur la projection
horizontale. Le point C demeure fixe, à gauche, tandis que le point
condylien droit va subir une avancée
d’amplitude égale à celle observée lors de l’ouverture normale,
c’est à dire de 7 millimètres, distance qui, ici, sera parcourue sur une
courbe !
Sur
cette projection, l’axe de rotation est vertical et passe par C. Il convient
donc de rechercher la position de C3 . Elle sera un peu plus
interne que celle de C2 et située légèrement plus en avant
(Fig.6). Il faut trouver l’intersection entre un cercle de centre C2
(z = - 49,55 et x = -12) et
de rayon 7, avec un autre cercle, de centre C (z = 50 et x = -12,001)
et
de rayon : 50 + 49,55 = 99,55.
Parmi
les 2 racines, celle à retenir donne la position de
C3
à z = - 49,254
et
à x = - 18,993 ( avec encore y = -22,933 comme en C2 ).
En
projection horizontale, les distances séparant, en phase 2 (Fig.5) le point i2
respectivement de C et de C2 ne
sont plus égales, et il convient de les calculer :
C2 ó i2 = racine de {(49,549 + 8,321)² + (23,63 - 12)²} = 59,02
C ó i2 = racine de {(50 - 8,321)² + (
23,63 - 12)² } = 43,263
Connaissant
cela, on va maintenant pouvoir situer i3 sur
cette projection horizontale, par l’intersection d’un cercle centré en C (z
= 50 et x = -12), de rayon 43,263, et d’un autre cercle centré en C3
de coordonnées :
z
= -18,99 et x = - 49,254 , de rayon 59,02.
La
réponse, sélectionnée parmi les 2 solutions est :
z
= + 9,273 et x = - 26,596 pour le point i3 (Fig.6).
L’angle
γ dont a tourné la droite C ó C2 pour arriver à C ó C3 est donné par :
(6,99)² = (99,25)² + (99,5)² - 2 × 99,25 × 99,5 cos γ
cos γ = 0,9975 et
γ = 4°,028
C’est
aussi de cet angle qu’a tourné le point incisif autour de C.
Figure
7
SYNTHESE
La
figure 7 situe le point i3 sur les 3 projections, comparativement à
la position normale (i.n.) d’arrivée de ce point, en ouverture buccale
normale. Par rapport à celle-ci, on voit que le point i3 est dévié
vers l’arrière, le haut et le côté à translation non effectuée. Ces différences
(Δ) peuvent être précisées entre i3 et i.n. , et arrondies au
dixième de millimètre, précision très largement suffisante pour juger d’un
résultat final (mais qui a
pourtant nécessité plus de précisions lors des calculs intermédiaires !).
|
|
i.n |
I3 |
Δ |
|
|
x |
-30,63 |
-26,596 |
4,01 |
Recul |
|
y |
-108,82 |
-103,651 |
5,2 |
Montée |
|
z |
0 |
+9,273 |
9,3 |
Latéralisation
vers le côté atteint |
La
connaissance de ces 3 composantes permet de trouver l’ampleur réelle, dans
l’espace, de la différence entre la position obtenue, pour le point i3
et sa situation normale (i.n.) :
par
racine de {(30,63 - 26,59)² + (108,82 - 103,65)² + (9,273)² } = 11,357
qu’on peut arrondir à 11,4 millimètres.
Une
étude graphique a été menée parallèlement, ne nécessitant pas de calculs.
Elle a apporté un résultat comparable (11,8) mais sans doute moins précis.
Il
est également possible de traduire angulairement la modification incisive qui
porte i.n. en i3, chacun de ces points se trouvant à l’extrémité
d’un rayon = 100, d’une sphère centrée en C (fixe).
i.n. ó
i3 étant égal à 11,357, on peut écrire : (11,357)² = (100)²
+ (100)² - 2 × 100 × 100 cos λ
cos λ = 0,9935 , d’où
λ = 6°,51
C’est
aussi ce même angle qu’on trouverait entre les rayons se rendant à C et à C3
, puisque la distance entre ces 2 points, considérée dans l’espace, est la même
qu’entre i.n. et i3
(aux arrondissements près !) : racine de
{ (18,99 - 12)² + (22,9 - 13,5)² + (50 - 49,25)² } = 11,7.
autres considerations
Dans
les conventions de départ, il a été admis que le point condylien gauche étant
fixé, le point condylien droit subissait, lors de l’ouverture, la même
amplitude de déplacement que lors d’une ouverture normale (bi-latérale).
Or, la position de C3 , bien que très proche de celle de Te où
il aurait dû aller en ouverture normale, est un peu différente (plus en arrière,
en haut et en dedans, de 0,75 millimètres).
C3
x = -18,99 y
= -22,93 z = - 49,25
Te x =
- 19 y
= - 23
z = - 50
En
effet : racine de { (19 - 18,99)² + ( 23 - 22,93)² + (50 - 49,25)² } = 0,75
Cela
provient de ce que, le côté gauche étant « fixe », le condyle
droit ne peut plus effectuer de translation ; il subit alors une rotation
puisque la largeur bi-condylienne demeure à 100 millimètres. Le condyle droit
décrit alors, dans l’espace, un trajet situé à la surface d’une sphère
, de centre C et de rayon 100.
C’est
aussi sur cette même sphère qu’évolue
le point incisif, ce qu’on peut démontrer en calculant la distance spatiale
entre C et i3 :
racine
de {( 26,596 - 12)² + (50 - 9,273)² + (103,651 - 13,5)² } = 99,995, c’est
à dire 100, en tenant compte des arrondissements intermédiaires.
Le
troisième côté du triangle mandibulaire équilatéral, avec ses 2 extrémités
(C3 et i3 ) sur la sphère, conserve sa valeur initiale (
100 ) ; il n’a fait que changer de position. Sa longueur se vérifie par :
racine
de { (26,596 - 18,99)² + (103,651 - 22,933)² + (49,25 + 9,273)² } = 99,99,
donc 100 millimètres. C.Q.F.D.
Bien
entendu si, au lieu de considérer les conditions « standard »
utilisées dans ce travail ( triangle mandibulaire équilatéral), on voulait
appliquer les mêmes procédés que ceux qui viennent d’être exposés, il
faudrait reprendre tous les calculs sur une autre base de départ.
Ce serait le cas si, par exemple, bien que demeurant de forme symétrique,
les côtés latéraux de la mandibule, égaux entre eux, seraient plus grands
(ou plus petits ?) que le diamètre bi-condylien. Alors, le point incisif se déplacerait
sur une sphère et le condyle mobile sur une autre sphère, concentrique à la
première.
______________________
Quelques références
Delattre
A.et Fenart R.- 1960 . L’hominisation du crâne étudiée par la méthode
vestibulaire.
Éd. C.N.R.S. , Paris.
Fenart
R. - 2006 . Ontogénèse craniologique vestibulaire. Éd. pers. Lambersart.
Landouzy J.M. - 2005. Mal
de dos, mal de dents . Quintessence éd. Aubagne.